El primer gol de Kelechi Iheanacho en seis meses ha sellado una victoria clave en Dens Park, situando al Celtic, tercero en la tabla, a solo tres puntos del Hearts.
Iheanacho se impuso a Ryan Astley, del Dundee, para controlar un centro de su compañero Marcelo Saracchi y marcar desde el área pequeña en el minuto 82.
El Celtic había perdido en sus tres visitas anteriores a Dundee esta temporada y parecía que podía volver a tropezar cuando Simon Murray igualó el partido desde el punto de penalti, tras la intervención del VAR, en el minuto 57.
Steven McLean finalmente señaló el penalti después de que Astley golpeara el balón con el brazo extendido de Colby Donovan.
Hasta ese momento, el Dundee apenas había generado peligro y ya iba por detrás en el marcador tras un remate final de Yang Hyun-jun en una jugada en el minuto ocho.
El Celtic desperdició varias ocasiones antes del empate, pero el tan esperado gol de Iheanacho llegó poco antes de que Astley viera la tarjeta roja, permitiendo que el equipo de Martin O'Neill se reenganchara a la pelea por el título.
Antes, el técnico del Hearts, McInnes, lamentó el flojo partido de su equipo en el campo del colista Livingston.
Los Jambos solo tienen un punto de ventaja sobre el Rangers, segundo clasificado, que el sábado venció 4-2 al Dundee United y llegó a liderar la tabla por primera vez en más de dos años, aunque solo de forma momentánea.
Arropado por 7.000 aficionados en Almondvale, el Hearts se vio sorprendido muy pronto cuando Stevie May adelantó al Livingston.
El conjunto de Edimburgo reaccionó con los goles de Lawrence Shankland y Claudio Braga.
Sin embargo, un pase de Craig Halkett a Islam Chesnokov fue interceptado, lo que permitió a Lewis Smith empatar en el minuto 58.
La frustración del Hearts aumentó en el tiempo añadido, cuando Marc Leonard fue expulsado por evitar una ocasión manifiesta de gol de Robbie Muirhead.
"Sin duda, hemos dejado escapar dos puntos. Encajamos dos goles muy malos. Vinimos aquí con mucha motivación, la afición respondió y pensé que estábamos preparados para ello", afirmó McInnes.
"Deberíamos haber gestionado mejor el balón y mantenido el control del partido, pero hemos pecado de perder esa autoridad y dominio".
"Cuando encajas un gol, aunque quede media hora, psicológicamente todo cambia porque tienes que volver a intentarlo. Livingston, como equipo que está abajo en la tabla, encuentra algo a lo que aferrarse".